Question

5．已知反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y₂=-2kx+b的图象交于点A（1，-2）和点B，将△ABO绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△A₁B₁O．
（1）求k、b的值和点B的坐标．
（2）求△AB₁O的面积．

Answer 1

分析 （1）把A（1，-2）代入反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$与一次函数y₂=-2kx+b即可求得k、b，然后联立解析式，解方程即可求得B的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB₁的解析式，从而求得与x轴的交点，进而根据S${\;}_{△A{B}_{1}O}$=S${\;}_{△{B}_{1}OC}$+S_△AOC即可求得．

解答 解：（1）∵反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y₂=-2kx+b的图象交于点A（1，-2）和点B，
∴-2=$\frac{k}{1}$，-2=-2k+b，解得k=-2，b=-6；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{x}}\\{y=4x-6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{1}{2}$，-4）；
（2）由题意可知：点B₁（4，$\frac{1}{2}$），
设直线AB₁的解析式为：y=mx+n（m≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-2}\\{4m+n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{6}}\\{n=-\frac{17}{6}}\end{array}\right.$
∴直线AB₁的解析式为：y=$\frac{5}{6}$x-$\frac{17}{6}$，
令y=0，则$\frac{5}{6}$x-$\frac{17}{6}$=0，解得x=$\frac{17}{5}$，
∴与x轴的交点为C（$\frac{17}{5}$，0），
∴S${\;}_{△A{B}_{1}O}$=S${\;}_{△{B}_{1}OC}$+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{17}{5}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{17}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形的变换-旋转，待定系数法求得解析式，然后求得交点B的坐标是解题的关键．