Question

18．如图，边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为$\sqrt{2}$的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为$（{\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{6}}）π$．

Answer 1

分析 设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，易证三角形AOB是等边三角形，确定∠GFE=∠EAC=30°，再利用弧长公式计算即可．

解答 解：如图所示：
设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，
∵AB=$\sqrt{2}$，AO=BO=$\sqrt{2}$，
∴AB=AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°
同理：△FAO是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120°，
∴∠EAC=120°-90°=30，∠GFE=∠FAD=120°-90°=30°，
∵AD=AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为$\frac{30π×2}{180}$+$\frac{30π×\sqrt{2}}{180}$=$（{\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{6}}）π$；
故答案为：$（{\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{6}}）π$．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．