Question

5．阅读下列材料：“为什么$\sqrt{2}$不是有理数”．
假设$\sqrt{2}$是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得$\sqrt{2}$=$\frac{n}{m}$，于是有2m²=n²．
∵2m²是偶数，∴n²也是偶数，∴n是偶数．
设n=2t（t是正整数），则n²=4t²，即4t²=2m²，
∴2t²=m²，
∴m也是偶数
∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．
∴假设错误，
∴$\sqrt{2}$不是有理数
有类似的方法，请证明$\sqrt{3}$不是有理数．

Answer 1

分析 根据题意利用反证法假设$\sqrt{3}$是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．

解答 解：假设$\sqrt{3}$是有理数，
则存在两个互质的正整数m，n，使得$\sqrt{3}$=$\frac{n}{m}$，
于是有3m²=n²，
∵3m²是3的倍数，
∴n²也是3的倍数，
∴n是3的倍数，
设n=3t（t是正整数），则n²=9t²，即9t²=3m²，
∴3t²=m²，
∴m也是3的倍数，
∴m，n都是3的倍数，不互质，与假设矛盾，
∴假设错误，
∴$\sqrt{3}$不是有理数．

点评 此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．