Question

【题目】（1）如图①，小明同学作出两条角平分线，得到交点，就指出若连接，则平分，你觉得有道理吗？为什么？

（2）如图②，中，，，，的角平分线上有一点，设点到边的距离为.（为正实数）

小季、小何同学经过探究，有以下发现：

小季发现：的最大值为.

小何发现：当时，连接，则平分.

请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）有道理，理由详见解析；（2）小季和小何都正确，理由详见解析

【解析】

（1）过I点分别作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于点M，N，K，根据角平分线的性质即可得解；

（2）根据等积法的相关方法进行求解即可.

（1）如下图，过I点分别作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于点M，N，K，连接IC

∵AI平分∠BAC，IM⊥AB，IK⊥AC

∴IM=IK，同理IM=IN

∴IK=IN

又∵IK⊥AC，IN⊥BC

∴CI平分∠BCA；

（2）如下图，过C点作CE⊥AB于点E，则d的最大值为CE长

∵，

∴

又∵

∴

∴的最大值为

∴小季正确；

假设此时平分，如下图，连接AI，BI，过I点作IG，IH，IF分别垂直于AC，BC，AB于点G，H，F

∵AI平分，CD平分∠ACB

∴BI平分∠CBA

∵IG⊥AC，IH⊥BC，ID⊥AB

∴IG=IH=IF=d

∵

∴

∴

∴

∴假设成立，当时，连接，则平分

∴小何正确.