Question

如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM=

5

5

或

2 5

5

时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．

Answer 1

分析：由正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，即可求得BE的值，分别从若△ABE∽△NDM与若△ABE∽△MDN，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠A=90°，
∴AB=BC=2，
∵E为BC的中点，
∴BE=1，
若△ABE∽△NDM，
则

DN

AB

=

DM

BE

，
即：

DN

DM

=2，
设DM=x，DN=2x，
∴x²+（2x）²=1，
解得：x=

5

5

；
若△ABE∽△MDN，
则

DM

AB

=

DN

BE

，
即：

DN

DM

=

1

2

，
设DM=2y，DN=y，
∴（2y）²+y²=1，
解得：2y=

2 5

5

；
∴当DM=

5

5

或

2 5

5

时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
故答案为：

5

5

或

2 5

5

．

点评：此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用．