Question

如图，正方形ABCDE的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）试判断△AEF的形状，并说明理由；
（3）若DE=1，求△AFE的面积．

Answer 1

（1）解：∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
即∠FAB+∠BAE=90°，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，
即∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
又∵AB=AD，∠ABF=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABF；

（2）解：等腰直角三角形，
∵△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，
又∵∠FAE=90°，
∴△AEF等腰直角三角形；

（3）解：∵AD=4，DE=1，
∴AE===，
∴S_△AEF=×AE×AF=××=．
∴△AFE的面积为．
分析：（1）由AF⊥AE，易得∠FAB+∠BAE=90°，而∠DAE+∠BAE=90°，那么易求∠FAB=∠DAE，再结合AB=AD，∠ABF=∠D=90°，可证△ADE≌△ABF；
（2）△AEF是等腰直角三角形，由（1）知△ADE≌△ABF，利用全等三角形的性质可知AF=AE，而∠FAE=90°，即可判断△AEF的形状；
（3）由于AD=4，DE=1，利用勾股定理可求AE=，那么利用直角三角形面积公式可求△AEF的面积．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形面积公式．解题的关键是求出∠FAB=∠DAE．