Question

抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点A(-3

3

，0）、B(

3

，0），它与y轴相交于点C，且∠ACB≥90°，设该抛物线的顶点为D，△BCD的边CD上的高为h．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求高h的取值范围；
（3）当（1）的实数a取得最大值时，求此时△BCD外接圆的半径．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形各边的关系，求得OC²=OA•OB，利用边角关系，代入a值解得．
（2）过D作DE⊥OC，延长DC交x轴于点H，过点B作BF⊥CH于点F．利用顶点公式求得点D，由OC≤3，则tan∠OHC=

OC

OH

≤

3

3

，从而解得．
（3）求得a的最大值，求得h值，可得BD，BC，连接DG，由△DGB∽△BCF求得DG．

解答：解：（1）当∠ACB=90°时，OC²=OA•OB，
得OC=3
又∠ACB≥90°，
故OC≤3，
所以9a≤3，
∴0＜a≤

1

3

．
（2）过D作DE⊥OC，延长DC交x轴于点H，过点B作BF⊥CH于点F．
因为D为抛物线的顶点，
所以D（-

3

，-12a），OE=12a，
又∵OC=9a，CE=3a，DE=

3

，
易证△HCO∽△DCE，
有

HO

DE

=

CO

CE

=

9a

3a

=3，
故OH=3DE=3

3

，BH=OH-OB=2

3

，
又OC≤3，则tan∠OHC=

OC

OH

≤

3

3

，
于是0＜∠OHC＜30°，
则h=BF=BHsin∠BHF≤BHsin30°=

3

，
从而0＜h≤

3

．
（3）当a取最大值时，a=

1

3

，
此时h=

3

，B（

3

，0），C（0，-3），D（-

3

，-4），
可求BD=2

7

，BC=2

3

，
作直径DG，易证△DGB∽△BCF，

DG

BC

=

BD

BF

，
所以

DG

2 3

=

2 7

3

．
故DG=4

7

，
即△BCD外接圆的半径为2

7

．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，并涉及到了抛物线的顶点公式，利用三角形来求a的取值范围，并考查了a的取值确定三角形外接圆半径，利用三角形与抛物线之间的关系确定三角形某边上高的取值范围．