Question

11．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．
（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且$OA=2\sqrt{3}$时，求PG的长．

Answer 1

分析 （1）先补全图形，如图1，连接OG，根据等腰三角形的性质，由PF=PG，∠1=∠2．由OG=OA得到∠3=∠A，而∠A+∠AFE=90°，加上∠2=∠AFE，所以∠3+∠1=90°，于是可根据切线的性质判断PG与⊙O相切；
（2）如图2，连接CG，利用DG∥AB得到∠GDC=∠OEC=90°，则根据圆周角定理得CG为⊙O的直径，由于OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠C=30°，然后在Rt△CGP，利用三角函数可计算出PG的长．

解答 解：（1）如图1，PG与⊙O相切．
证明如下：连接OG，
∵PF=PG，
∴∠1=∠2．
又∵OG=OA，
∴∠3=∠A，
∵CD⊥AB于点E，
∴∠A+∠AFE=90°，
又∵∠2=∠AFE，
∴∠3+∠1=90°，即∠OGP=90°，
∴OG⊥PG．
∵OG为⊙O的半径，
∴PG与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接CG，
∵CD⊥AB于点E，
∴∠OEC=90°，
∵DG∥AB，
∴∠GDC=∠OEC=90°，
∴CG为⊙O的直径．
∵E为半径OA的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC，
∴∠C=30°，
而PG与⊙O相切，
∵∠CGP=90°，
∴PG=CG•tan30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．