Question

如图，正方形ABCD内有两条相交线段EF，GH，E，F，G，H分别在边AD，CB，DC，BA上，小明认为：若EF=GH，则EF⊥GH；小颖认为若EF⊥GH，则EF=GH．你认为（　　）

A、仅小明对

B、仅小颖对

C、两人都对

D、两人都不对

Answer 1

分析：（1）根据EF=GH，利用HL定理证明Rt△FEN≌Rt△HGM，即可得出答案；
（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作AW∥EF交BC于MW，作BQ∥GH交CD于NQ，那么AW=EF，BQ=GH，再证得△ABW、△BQC全等，那么AW=BQ，即EF=GH；

解答： 证明：（1）作HM⊥DC，FN⊥AD，
∵在正方形ABCD中，HM⊥DC，FN⊥AD，
∴FN=HM，FN∥DC，
∴∠HYR=90°，
∵EF=GH，
∴Rt△FEN≌Rt△HGM，（HL）
∴∠RHY=∠TFR，
∵∠HYR=∠HRY+∠RHY=90°，
∴∠HRY+∠TFR=∠RTF=90°，
∴EF⊥GH．

（2）作AW∥EF交BC于MW，作BQ∥GH交CD于NQ，
∵EF⊥GH，
∴BQ⊥EF，
∴∠NBF+∠BFN=90°，
∵∠NBF+∠BQC=90°．
∴∠NFB=∠BQC，
∵∠AWB=∠NFB，
∴∠AWB=∠BQC，
∵∠ABW=∠QCB=90°，AB=BC，
∴△ABW≌△BQC（AAS）
∴AW=BQ，
∴EF=HG．
故两人所说都对．
故选：C．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，都是通过构建与已知和所求的条件相关的三角形，然后证明其全等来得出线段间的相等或垂直，此题综合性较强．