Question

10．如图，四边形纸片ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=10，AD=2$\sqrt{3}$，CD=4，点E是线段AB上的一动点，点F是射线AD上的一动点．将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，连接PD．
（1）当AE=4，且点P刚好落在CD边上时，则线段PD长为2；
（2）若点P始终落在四边形ABCD内部，则线段PD长的变化范围是$\frac{4\sqrt{13}-10}{3}＜PD＜\frac{2\sqrt{127}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意画出图形，由题意可证明四边形AECD为矩形，然后在Rt△PCE中，由勾股定理得PC=2，从而可求得DP的长；
（2）点P和点A关于EF对称，所以PE=AE，从而可知点P在以E为圆心，以AE为半径的圆上，然后再求得点E到DC和BC的距离，从而可确定出AE的长，然后计算出DP₁、DP₂的长度从而可确定出DP的范围．

解答 解：（1）如图1，连接EC．

            图1
∵AB∥DC，DC=AE=4，
∴四边形AECD为平行四边形．
又∵AD⊥AB，
∴四边形AECD为矩形．
∴CE⊥DC、CE=AD=2$\sqrt{3}$．
由折叠的性质可知：PE=AE=4，
在Rt△PCE中，由勾股定理得PC=$\sqrt{P{E}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴PD=DC-PC=4-2=2．
（2）∵点P和点A关于EF对称，
∴PE=AE．
∴点P在以E为圆心，以AE为半径的圆上．
如图2：

当点F运动到F₁时，点F₁与点D重合时，点P₁在线段DC上，由（1）可知AEP₁D为矩形，
∴EP₁=2$\sqrt{3}$，
过点C作CG⊥AB，由（1）可知四边形DAGC为矩形，
∴CG=2$\sqrt{3}$．
在Rt△BCG中，BC=$\sqrt{C{G}^{2}+B{G}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
当点F运动到F₂时，点B、C、F₂在一条上，由折叠的性质可知：∠F₂P₂E=∠A=90°，设AE=x，则EP₂=x，EB=10-x，
∴∠F₂P₂E=∠CGB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△EBP₂∽△CBG．
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{CG}{E{P}_{2}}$即：$\frac{4\sqrt{3}}{10-x}=\frac{2\sqrt{3}}{x}$．
∴x=$\frac{10}{3}$．
∵$\frac{10}{3}＜2\sqrt{3}$，
∴当AE＜$\frac{10}{3}$时，点P一定在四边形ABCD内．
∴点P在以E为圆心，以$\frac{10}{3}$为半径的圆内．
如图3：

在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（\frac{10}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
在Rt△ADE中，DP₂=$\sqrt{A{D}^{2}+A{{P}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（\frac{20}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{127}}{3}$，
当点P位于点P₁处时，PD有最小值，PD=DP₁=DE-EP₁=$\frac{4\sqrt{13}-10}{3}$，
当点P位于点P₂处时，PD有最大值，PD=DP₂=$\frac{2\sqrt{127}}{3}$．
∴点DP的位置范围为：$\frac{4\sqrt{13}-10}{3}＜DP＜\frac{2\sqrt{127}}{3}$．
故答案为：（1）2；（2）$\frac{4\sqrt{13}-10}{3}＜DP＜\frac{2\sqrt{127}}{3}$．

点评 本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形的性质和判定、勾股定理以及圆的定义，求得点E到DC和BC的距离，从而可确定出AE的长度是解题的关键．