Question

5．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b＜$\frac{6}{x}$成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）先把A、B点坐标代入y=$\frac{6}{x}$求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）根据图象可以直接写出答案；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．

解答 解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象上，
∴m=1，n=2，
即A（1，6），B（3，2）．
又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
则该一次函数的解析式为：y=-2x+8；

（2）根据图象可知使kx+b＜$\frac{6}{x}$成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；

（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令-2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE=6，BC=2，
∴S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4×6-$\frac{1}{2}$×4×2=8．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．