如图.对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB.给出如下定义:如果线段AB上存在两个点M.N.使得∠MPN=30°.那么称点P为线段AB的伴随点．.B.E($\frac{5}{2}$.-$\sqrt{3}}$).F.①在点D.E.F中.线段AB的伴随点是D.F,②作直线AF.若直线AF上的点P(m.n)是线段AB的伴随点.求m的取值范围,(2)平面内有一个腰长为1的等腰直角三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．如图，对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．

（1）已知点A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E（$\frac{5}{2}$，-$\sqrt{3}}$），F（0，2+$\sqrt{3}$），
①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是D、F；
②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；
（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．

分析（1）根据伴随点的定义，观察图象即可判定．
（2）以AB为一边，在x轴上方、下方分别构造等边△ABO₁和等边△ABO₂，分别以点O₁，点O₂为圆心，线段AB的长为半径画圆，求出两圆与直线AF的交点的位置，即可解决问题．
（3）如图，△DEF的腰长为1的等腰直角三角形，⊙O是△DEF的外接圆，△OAB是等边三角形，根据伴随点的定义可知，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点，求出AB的长即可解决问题．

解答解：（1）①根据伴随点的定义卡D、F是线段AB的伴随点；
故答案为D、F．

②以AB为一边，在x轴上方、下方分别构造等边△ABO₁和等边△ABO₂，
分别以点O₁，点O₂为圆心，线段AB的长为半径画圆，

∵线段AB关于y轴对称，
∴点O₁，点O₂都在y轴上．
∵AB=AO₁=2，AO=1，∴OO₁=$\sqrt{3}$，
∴O₁（0，$\sqrt{3}$），
同理O₂（0，$-\sqrt{3}$）．
∵F（2+$\sqrt{3}$，0），
∴O₁F=2+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2，
∴点F在⊙O₁上．
设直线AF交⊙O₂于点C，
∴线段FC上除点A以外的点都是线段AB的“伴随点”，
∴点P（m，n）是线段FC上除点A以外的任意一点，
连接O₂C，作CG⊥y轴于点G，
∵等边△O₁AB和等边△O₂AB，且y轴垂直AB，
∴∠AO₁B=∠AO₂B=∠O₁AB=∠O₂AB=60°，∠AO₁O=∠AO₂O=30°，
∵O₁A=O₁F，
∴∠AFO₁=∠FAO₁=15°，
∴∠CAO₂=∠AFO₂+∠AO₂F=15°+30°=45°，
∵O₂A=O₂C，
∴∠CAO₂=∠ACO₂=45°，
∴∠O₂CG=180°-∠CFG-∠FGC-∠ACO₂=30°，
∴CG=O₂C•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴-$\sqrt{3}$≤m≤0，且m≠-1．

（2）如图△DEF的腰长为1的等腰直角三角形，⊙O是△DEF的外接圆，△OAB是等边三角形，

∵∠G=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，
∴根据伴随点的定义可知，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点，
∵EF=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=OA=OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$时，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点．

点评本题考查三角形综合题、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚伴随点的定义，学会利用辅助圆解决问题，属于中考创新题目．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

10．按照要求画图：
（1）如图甲，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，3），（-4，1），（-2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，点A，B，C的对应点为点A₁，B₁，C₁．画出旋转后的△A₁B₁C₁；
（2）如图乙，下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．