Question

【题目】如图，四边形内接于半圆，为直径，，过点作于点，连接交于点F.若，，则的长为 （　　）

A.8B.10C.15D.24

Answer 1

【答案】D

【解析】

连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE=∠DAC得到FD=FA=5，再根据余弦的定义计算出AE=3，则EF=4，DE=9，接着证明ΔADEΔDBE，利用相似比得到BE=27，所以AB=30，然后在RtΔABC中利用余弦定义计算出BC=24的长．

连接BD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

而∠DCA=∠ABD，

∴∠DAC=∠ABD，

∵DE⊥AB，

∴∠ABD+∠BDE=90°，

而∠ADE+∠BDE=90°，

∴∠ABD=∠ADE，

∴∠ADE=∠DAC，

∴FD=FA=5，

在RtΔAEF中，∵cos∠CAB= =，

∴AE=3，

∴EF==4，DE=5+4=9，

∵∠ADE=∠DBE，∠AED=∠BED，

∴ΔADEΔDBE，

∴DE:BE=AE:DE，即9:BE=3:9，

∴BE=27，

∴AB=3+27=30，

在RtΔABC中，∵cos∠CAB==，

∴AC=30×=18，

BC= ==24，

故选D．