Question

如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，CF平分∠DCE，交AD于F，则AF的长为

 

．

Answer 1

分析：找出正方形面积等于正方形内所有三角形面积的和求这个等量关系，列出方程求解，求得DF，根据AF=a-DF即可求得AF．

解答：解：作FH⊥CE，连接EF，

∵∠FHC=∠D=90°，∠HCF=∠DCF，CF=CF
∴△CHF≌△CDF，
又∵S_{正方形ABCD}=S_△CBE+S_△CDF+S_△AEF+S_△CEF，
设DF=x，则a²=

1

2

×

1

2

×1×a+

1

2

×1×x×a+

1

2

×

1

2

×（1-x）×a+CE•FH
∵FH=DF，CE=

BC2+BE2

，
∴整理上式得：2a-x=

5

x，
计算得：x=

5 -1

2

a．
AF=a-x=

3- 5

2

a．
故答案为

3- 5

2

a．

点评：本题考查了转换思想，考查了全等三角形的证明，求AF，转化为求DF是解题的关键．