Question

如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，定点C、D在第二象限．将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B₁、C₁、D₁，且D₁、C₁、O三点在一条直线上．记点D₁的坐标是（m，n）．
（1）设∠DAD₁=30°，n=，
①求正方形ABCD的边长；
②求直线D₁C₁的解析式；
（2）若∠DAD₁＜90°，m，n满足m+n=-2，点C₁和点O之间的距离是，求直线D₁C₁的解析式．

Answer 1

解：（1）①如图，过D₁作D₁E⊥x轴于E，
∵∠DAD₁=30°，AD∥D₁E，
∴∠AD₁E=30°，
又n=
∴AD₁=2，
即正方形ABCD的边长为2；

②∵∠DAD₁=30°，
∴∠B₁AO=30°=∠DAD₁=30°，
而D₁、C₁、O三点在一条直线上，
∴直线D₁C₁的解析式为y=-tan30°x，
即y=-x；

（2）如图，过C₁作直线GF∥y轴，交D₁F于F，
其中D₁F∥x轴，
∵AD₁=D₁C₁，
∠D₁EA=∠D₁FC₁=90°，
∠D₁AE=∠D₁C₁F，
∴△D₁AE≌△D₁C₁F，
∴D₁E=D₁F，
又m+n=-2，①
∴G（-2，0）
而OC₁=，
∴GC₁=1
∴C₁坐标为（-2，1），
∵D₁、C₁、O三点在一条直线上，
设C₁O所在直线为：y=kx，将（-2，1）代入得：
∴k=-，
∴直线D₁C₁的解析式为y=-x．
分析：（1）①过D₁作D₁E⊥x轴于E，由∠DAD₁=30°，AD∥D₁E得到∠AD₁E=30°，而D₁E=n=，由此即可求出正方形的边长；
②根据旋转得∠B₁AO=30°=．∠DAD₁=30°，由此得到直线D₁C₁的解析式的k=-tan30°，又经过O，所以解析式即可求出
（2）如图，过C₁作直线GF∥y轴，交D₁F于F，其中D₁F∥x轴，根据已知条件证明△D₁AE≌△D₁C₁F，了用全等三角形的性质得到D₁E=D₁F，而m+n=-2，由此可以得到G的坐标，从而求出GC₁=1，求出C₁坐标为（-2，1），
再利用D₁、C₁、O三点在一条直线上，即可得出直线D₁C₁的解析式．
点评：本题是一次函数与正方形相结合的问题，在图形中渗透旋转的观点是中考中经常出现的问题，也是一个难点问题．