如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{3}$，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；④S△DEF=4$\sqrt{5}$，其中正确结论的个数是（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 ①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由 $\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；
④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4$\sqrt{5}$．
解答 解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG=$\sqrt{{AF}^{2}{+FG}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；
故③正确；
④∵DF=DG+FG=6，AD=$\sqrt{{AG}^{2}{+DG}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴S△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AG=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{5}$=3 $\sqrt{5}$，
∵△ADF∽△AED，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△AED}}$=（ $\frac{AF}{AD}$）2，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{{S}_{△AED}}$=$\frac{3}{7}$，
∴S△AED=7 $\sqrt{5}$，
∴S△DEF=S△AED-S△ADF=4 $\sqrt{5}$；
故④正确．
故选D．
点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 4.9077×102 | B． | 49.077×102 | C． | 4.9077×103 | D． | 49.077×103 |
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如图，直线l上依次有三个点O，A，B，OA=40cm，OB=160cm．查看答案和解析>>
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱（如图，AB=5dm，BC=4dm，AE=3dm）．查看答案和解析>>
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如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与四边形DBCE的面积之比是1：3．