Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，抛物线经过两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上的一点，过点作轴于点，交线段于点，使．

①求点的坐标和的面积；

②在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，3；②存在，点的坐标为或或或

【解析】

（1）先求出点C的坐标，再结合锐角三角函数求出AC的长度，进而得出点A的坐标，将点A和点B代入函数解析式即可得出答案；

（2）①先求出直线AB的解析式，设，并写出，根据“”求出x的值，再利用割补法求出面积；②设，利用两点间距离公式分别求出AB、BM和AM的长度，再分情况进行讨论(i)当时，(ii)当时，(iii)当时，并利用勾股定理求出y的值.

解：（1），

，

，

，

，

中，，

，

，

，

，

把代入得

，

解得，

∴抛物线的解析式为；

(2)①

的解析式为，

设，则，

，

，

解得，（舍去）或-1，

在中，当时，y=4

，

②存在．

在直线上，且，

设，

，

，

，

分三种情况：

(i)当时，有，

，

解得，

或；

(ii)当时，有，

，

解得；

，

(iii)当时，有，

，

解得；

，

综上，点的坐标为或或或；