Question

13．如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE=$\frac{1}{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；
（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°，由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．

解答 （1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴?ABEF是菱形；

（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵$sin∠CBE=\frac{1}{2}$，
∴∠CBE=30°，
∵BE∥AC，
∴∠1=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1，
∴∠2=∠CBE=30°，
Rt△ADH中，$AH=AD•cos∠2=4\sqrt{3}$，
DH=AD•sin∠2=4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD=AB=BE=5，
Rt△CDH中，$CH=\sqrt{C{D^2}-D{H^2}}=3$，
∴$AC=AH+CH=4\sqrt{3}+3$．

点评 本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得AH，CH是解答此题的关键．