Question

【题目】如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4， AB=3，，在线段BC上取一点P（不与B、C重合），联结DP，作射线PQ⊥DP，PQ与直线AB交于点Q．

（1）求出梯形ABCD的面积；

（2）若点Q在边AB上，设CP=x，AQ=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并写出定义域．

（3）△DPC是等腰三角形，求AQ的长．

Answer 1

【答案】（1）21；（2），（6≤x<10)；（3）或.

【解析】

（1）作DH⊥BC，在Rt△DHC中，根据，可求出HC=6，然后按照梯形的面积公式求解即可；

（2）先证明△QBP∽△PHD，根据相似三角形的性质可得,由 PC=x，所以PH=x-6，BBP=10-x，代入整理即可；

（3）分△DPC是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可.

解：（1）作DH⊥BC，

∵DH⊥BC，

∴∠DHP= ∠DHC =90°.

由题意得：AB=DH=3，AD=BH=4 ，

∵Rt△DHC中，，

∴，∴HC=6，

∴BC=10 ，

∴梯形ABCD的面积；

（2）∵PQ⊥DP，∠ABC=90°，

∴∠BQP=90°﹣∠QPB=∠DPH，

∵∠ABC=∠DHP=90°，

∴△QBP∽△PHD，

∴，

∵PC=x，∴PH=x-6，BP=10-x，

∵AQ=y，∴BQ= 3-y，

∴，

∴，（6≤x<10) ，

（3）当点Q在边AB上， 6≤x<10，△DPC是锐角三角形，

DP=DC，舍去，

DP=PC，舍去，

DC=PC，则，

，

当点Q在射线AB上， 0<x<6，△DPC是钝角三角形，

只有：DP=PC，设DP=PC=x，

∵Rt△DHP中，

∴，

∴，

∴，

∴，

综上：或 .