Question

13．如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）找出图中的全等三角形；
（2）连结BE，探究四边形BFDE是什么特殊四边形，并说明BD与EF的关系；
（3）若CD=4，BC=8，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由于矩形沿EF折叠，使顶点B和D重合，根据折叠的性质得到AB=A′D，∠A′=∠A=90°，∠BFE=∠DFE，而AB=CD，则A′D=DC，利用AD∥BC得到∠BFE=∠FED，则∠DFE=∠FED，所以DE=DF，根据直角三角形全等的判定方法得到Rt△A′ED≌Rt△CFD；
（2）根据折叠的性质得到∠BFE=∠DFE，又AD∥BC，得到∠BFE=∠FED，则∠DFE=∠FED，于是DE=DF，根据折叠的性质得到FB=FD，EB=ED，根据DE=DF，得到DE=EB=BF=FD，根据菱形的判定方法得到四边形BEDF是菱形，然后根据菱形的性质得到BD与EF互相平分垂直；
（3）连接BD，设CF=xcm，则BF=DF=（8-x）cm，则（8-x）²=x²+4²，解得x的值，在Rt△BCD中，根据勾股定理得出BD，再根据菱形的面积公式：底乘高以及对角线乘积的一半得出EF即可．

解答 解：（1）由折叠的不变性可得：△A′ED≌△CFD；
（2）∵矩形沿EF折叠，使顶点B和D重合，
∴∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠FED，
∴∠DFE=∠FED，
∴DE=DF，
连BE、BD，∵矩形沿EF折叠，使顶点B和D重合，
∴FB=FD，EB=ED，
∴DE=DF，
∴DE=EB=BF=FD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BD与EF相互垂直平分，
（3）连接BD，设CF=xcm，则BF=DF=（8-x）cm，则（8-x）²=x²+4²，
解得x=3，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵S_菱形BFDE=$\frac{1}{2}$EF•BD=3×4，
∴$\frac{1}{2}$EF×4$\sqrt{5}$=4×3
解得EF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$cm．

点评 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了全等三角形的判定、矩形的性质以及菱形的判定与性质．