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    已知抛物线y=-
    14
    x2+bx+c的对称轴为直线x=1，最大值为3，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
    （3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
    ①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
    ②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（D不与Q重合）．另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
    分析：（1）由抛物线的对称轴方程可求出b的值，由抛物线的最小值可求出c的值，进而求出抛物线的解析式；
    （2）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长．
    （3）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．
    ②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线y=-
    1
    4
    x2+bx+c的对称轴为直线x=1，
    ∴2b=1，
    ∴b=
    1
    2
    ，
    又∵抛物线最大值为3，
    ∴3=-
    1
    4
    ×1+
    1
    2
    ×1+c    ，
    ∴c=
    11
    4
    ，
    ∴抛物线解析式为：y=-
    1
    4
    x2+
    1
    2
    x+
    11
    4
    ；

    （2）把x=0代入抛物线得：y=
    11
    4
    ，
    ∴点A（0，
    11
    4
    ），
    ∵抛物线的对称轴为x=1，
    ∴OC=1；

    （3）①如图：∵此抛物线与y轴交于点A，顶点为B
    ∴B（1，3）
    分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，
    ∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
    ∴DMQN是矩形．
    ∵△CDE是等腰直角三角形，
    ∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
    ∴△CDM≌△EDN
    ∴DM=DN，
    ∴DMQN是正方形，
    ∴∠BQC=45°
    ∴CQ=CB=3
    ∴Q（4，0）
    设BQ的解析式为：y=kx+b，
    把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=-1，b=4．
    所以直线BQ的解析式为：y=-x+4；
    ②当点P在对称轴右侧，如图：
    过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，
    ∵∠CDE=90°，
    ∴∠CDM=∠EDN，
    ∴△CDM∽△EDN，
    当∠DCE=30°，
    DC
    DE
    =
    DM
    DN
    =
    		3
    ，
    又DN=MQ，
    ∴
    DM
    MQ
    =
    		3
    ，
    ∴
    BC
    CQ
    =
    		3
    ，BC=3，CQ=
    		3
    ，
    ∴Q（1+
    		3
    ，0），
    ∴P1（1+
    		3
    ，
    9
    4
    ），
    当∠DCE=60°，点P2（1+3
    		3
    ，-
    15
    4
    ）．
    当点P在对称轴的左边时，由对称性知：
    P3（1-
    		3
    ，
    9
    4
    ），P4（1-3
    		3
    ，-
    15
    4
    ）
    综上所述：P1（1+
    		3
    ，
    9
    4
    ），P2（1+3
    		3
    ，-
    15
    4
    ），P3（1-
    		3
    ，
    9
    4
    ），P4（1-3
    		3
    ，-
    15
    4
    ）．
    点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用抛物线与y轴的交点及对称轴求出点A的坐标和OC的长．（2）①利用三角形全等确定点Q的坐标，求出BQ的解析式．②根据三角形相似求出点Q的坐标，然后确定点P的坐标．
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    已知抛物线y=x2+(k-1)x-
    14
    ，当x=2时有最小值．则这个最小值是
     
    ．

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    已知抛物线y=x2+x+b2经过点（a，-
    14
    ）和（-a，y1），则y1的值是
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=x2-ax+a2-4a-4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒、
    （1）求a的值；
    （2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；
    （3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值；
    （4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•丹阳市二模）如图，已知抛物线y=
    5
    16
    x2-
    5
    16
    (b+2)x+
    5
    8
    b    （b为＞2的实数）与x轴的正半轴分别交于点A、D（点A位于点D的左侧），与y轴的正半轴交于点B．
    （1）点A的坐标为
    （2，0）
    （2，0）
    ，点D的坐标为
    （b，0）
    （b，0）
    （用含b的代数式表示）；
    （2）当b=8时，求出点B的坐标；
    （3）在（2）的条件下，E为OD中点，BC∥OD，CE⊥OD于点E．从初始时刻开始，动点P，Q分别从点O，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿O-B-C-E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B-C-E-D的方向运动，到点D停止．设运动时间为ts，△POQ的面积为scm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）
    解答下列问题：
    ①当t=2s时，s=
    2
    2
    cm2；当t=
    9
    2
    s时，s=
    9
    9
    cm2；
    ②当5≤t≤14时，求s与t之间的函数关系式；
    ③当动点P在线段BC上运动时，求出s=
    4
    15
    S梯形OBCD时t的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=
    1
    4
    (x-1)(x-b)    （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

    （1）点B的坐标为
    （b，0）
    （b，0）
    ，点C的坐标为
    （0，
    1
    4
    b）
    （0，
    1
    4
    b）
    （用含b的代数式表示）；
    （2）若b=8，请你在抛物线上找点P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
    （3）请你探索，在（1）的结论下，在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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