Question

14．已知二次函数解的图象与x轴的交点A，B间的距离为4，又对称轴为x=1，C是A、B弧上任一点，△ABC的面积的最大值为8，求解析式．

Answer 1

分析 由三角形的面积求出抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）²+h，然后把（3，0）代入求出a的值即可，注意分两种情况．

解答 解：根据题意得：当C是抛物线的顶点时，△ABC的面积最大，
设顶点的坐标为（1，h），
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×|h|=8，
解得：h=±4，
∵二次函数图象与x轴的交点A，B间的距离为4，对称轴为x=1，
∴A（-1，0），B）3，0），
设所求二次函数的解析式为y=a（x-1）²+h，
当h=4时，把（3，0）代入得：a•（3-1）²+4=0，
解得：a=-1，
∴所求二次函数的解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
当h=-4时，把（3，0）代入得：a•（3-1）²-4=0，
解得：a=1，
∴所求二次函数的解析式为y=（x-1）²-4=x²-2x-3；
综上所述：二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3或y=x²-2x-3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；根据题意求出顶点坐标和分类讨论是解决问题的关键．