Question

6．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）则n=2，k=3，b=-1；
（2）函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值，则x的取值范围是x＞1
（3）求四边形AOCD的面积；
（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入y=kx+b中求出b的值，再将D坐标代入y=x+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可；
（2）由两一次函数解析式，结合图象确定出x的范围即可；
（3）过D作DE垂直于x轴，如图1所示，四边形AOCD面积等于梯形AOED面积减去三角形CDE面积，求出即可；
（4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①DP′⊥DC；②DP⊥CP，分别求出P坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=x+1，令x=0，得到y=1，即A（0，1），
把B（0，-1）代入y=kx+b中，得：b=-1，
把D（1，n）代入y=x+1得：n=2，即D（1，2），
把D坐标代入y=kx-1中得：2=k-1，即k=3，
故答案为：2，3，-1；
（2）∵一次函数y=x+1与y=3x-1交于D（1，2），
∴由图象得：函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值时x的取值范围是x＞1；
故答案为：x＞1；
（3）过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示，

则S_{四边形AOCD}=S_梯形AOED-S_△CDE=$\frac{1}{2}$（AO+DE）•OE-$\frac{1}{2}$CE•DE=$\frac{1}{2}$×（1+2）×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×2=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{6}$；
（4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为：
如图2所示，分两种情况考虑：

①当P′D⊥DC时，可得k_P′D•k_DC=-1，
∵直线DC斜率为3，
∴直线P′D斜率为-$\frac{1}{3}$，
∵D（1，2），
∴直线P′D解析式为y-2=-$\frac{1}{3}$（x-1），
令y=0，得到x=7，即P′（7，0）；
②当DP⊥CP时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1，
∵P在x轴上，
∴P的坐标为（1，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．