Question

18．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）在边AD上能否找到一点P，使得PB=PD？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BM、CM，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=$\frac{1}{2}$AC，DM=$\frac{1}{2}$AC，根据等腰三角形的三线合一得到答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可．

解答 解：（1）连接BM、CM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC，DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴BM=DM，又N为BD的中点，
∴MN⊥BD；
（2）作线段BD的垂直平分线交AD于P，
根据线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等可知，
PB=PD．

点评 本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．