Question

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=-

2

3

x2+bx+5的图象与x轴、y轴的公共点分别为A（5、0）、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）如果点D在这个二次函数的图象上，且∠DAC=45°，求点D的坐标．

Answer 1

（1）将点A（5，0）代入，可得：0=-

2

3

×5²+5b+5，
解得：b=

7

3

，
故二次函数解析式为y=-

2

3

x²+

7

3

x+5．

（2）连接BC，
，
∵抛物线的解析式为y=-

2

3

x²+

7

3

x+5，
∴点B的坐标为（0，5），
∵点C的横坐标为3，
∴点C的纵坐标为6，即可得点C的坐标为（3，6），
则BC=

(3-0)2+(6-5)2

=

10

，AB=5

2

，AC=

(5-3)2+(0-6)2

=

40

，
∵AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

10

40

=

1

2

；

（3）∵OA=OB=5，∠BOA=90°，
∴∠BAO=45°，
又∵∠DAC=45°，
∴∠DAO=∠BAC，

设点D的坐标为（x，-

2

3

x²+

7

3

x+5），
则tan∠DAO=tan∠BAC=

- 2 3 x2+ 7 3 x+5

5-x

=

1

2

，
解得：x₁=-

3

4

，x₂=5（舍去），
故点D的坐标为（-

3

4

，

23

8

）．