Question

【题目】抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。

（Ⅰ）当时，求点A，点E的坐标；

（Ⅱ）若顶点E在直线上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）若，当满足值最小时，求b的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；

（Ⅱ）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；

（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时值最小，从而求出b的值.

解：（Ⅰ）把点和代入函数，

有。解得

（Ⅱ）由，得

∵点E在直线上，

当时，点A是最高点此时，

（Ⅲ）：抛物线经过点，有

∴E关于x轴的对称点为

设过点A，P的直线为.把代入，得

把点代入.

得，即

解得，。

舍去.