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2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册
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（1）一般地，我们把研究对象统称为______，把一些元素组成的总体叫做______（简称为集）．
答案：元素；集合
（2）集合中元素的特性：______、______、______．
答案：确定性；互异性；无序性
（3）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是______的．
答案：相等
如果______，就说$a$属于集合$A$
答案：元素$a$是集合$A$中的元素；$a\in A$
如果______，就说$a$不属于集合$A$
答案：元素$a$不是集合$A$中的元素；$aotin A$
非负整数集（或自然数集）的记法
答案：$\mathbf{N}$
正整数集的记法
答案：$\mathbf{N}^{*}$或$\mathbf{N}_{+}$
例1 下列各组中，集合$P$与$Q$表示同一个集合的是（ ）
A. $P$是由$1,\sqrt{3},\pi$构成的集合，$Q$是由$\pi,1,|-\sqrt{3}|$构成的集合
B. $P$是由$\pi$构成的集合，$Q$是由$3.14159$构成的集合
C. $P$是由$2,3$构成的集合，$Q$是由有序数对$(2,3)$构成的集合
D. $P$是满足不等式$-1\leqslant x\leqslant1$的自然数$x$构成的集合，$Q$是方程$x^{2}=1$的解集
答案：A
解析：选项A中，$|-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$，所以集合$P$和$Q$的元素均为$1,\sqrt{3},\pi$，元素相同，是同一个集合；选项B中，$\pi\approx3.1415926\cdotseq3.14159$，元素不同；选项C中，集合$P$是数集，集合$Q$是点集，元素类型不同；选项D中，$P=\{0,1\}$，$Q=\{-1,1\}$，元素不同，故选A。
[多选题]现有以下说法，其中正确的是（ ）
A. 接近于0的数的全体构成一个集合
B. 正方体的全体构成一个集合
C. 未来世界的高科技产品构成一个集合
D. 不大于3的所有自然数构成一个集合
答案：BD
解析：选项A“接近于0的数”不具有确定性，不能构成集合；选项B“正方体”具有明确的定义，能构成集合；选项C“未来世界的高科技产品”不具有确定性，不能构成集合；选项D“不大于3的所有自然数”为$0,1,2,3$，具有确定性，能构成集合，故选BD。
