Question

【题目】已知函数(mR)的导函数为．

（1）若函数存在极值，求m的取值范围；

（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）（2）{1，2}．

【解析】

（1）求解导数，表示出，再利用的导数可求m的取值范围；

（2）表示出，结合二次函数知识求出的最小值，再结合导数及基本不等式求出的最值，从而可求正整数k的取值集合．

（1）因为，所以，

所以，

则，

由题意可知，解得；

（2）由（1）可知，，

所以

因为

整理得，

设，则，所以单调递增，

又因为，

所以存在，使得，

设，是关于开口向上的二次函数，

则，

设，则，令，则，

所以单调递增，因为，

所以存在，使得，即，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，所以，

又由题意可知，所以，

解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}．