Question

已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.
（1）求常数的值；
（2）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围.

Answer 1

（1），，（2）

解析试题分析：（1）在处的切线切线斜率为，由导数的几何意义可知，将代入切线方程可得即又因为，解以上三个方程组成的方程组可得的值。（2）由（1）可知函数的解析式，从而可得函数解析式。将其求导可得，令，可将问题转化为函数在内有极值，即应有2个根（判别式应大于0），但在内至少有一个根（故应分两种情况讨论）。因为，所以在内有一个根时应有，在内有两个根时应因为，则且顶点纵坐标小于0
（1）由题设知，的定义域为,,
因为在处的切线方程为，
所以,且，即,且,
又 ，解得，， 
（2）由（Ⅰ）知
因此， 
所以 
令.
（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有.
（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函数在内有两个不等根，
所以，解得.   
综上，实数的取值范围是