Question

【题目】已知抛物线上一点到焦点的距离，倾斜角为的直线经过焦点，且与抛物线交于两点、.

（1）求抛物线的标准方程及准线方程；

（2）若为锐角，作线段的中垂线交轴于点.证明：为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；

（2）为定值，证明见解析.

【解析】

（1）利用抛物线的定义结合条件，可得出，于是可得出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，列出韦达定理，计算出线段的中点的坐标，由此得出直线的方程，并得出点的坐标，计算出和的表达式，可得出，然后利用二倍角公式可计算出为定值，进而证明题中结论成立.

（1）由抛物线的定义知，，.

将点代入，得，得.

抛物线的方程为，准线方程为；

（2）设点、，设直线的方程为，

由，消去得：，则，

，.

设直线中垂线的方程为：，

令，得：，则点，，.

，

故为定值.