Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是边长为2的等边三角形， ．
（Ⅰ）求证：平面PAM⊥平面PDM；
（Ⅱ）若点E为PC中点，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵△ABM是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∴ ， 又 ，∴CM=3，∴AD=3+1=4，∴AD2=DM2+AM2 ， ∴DM⊥AM．
又PA⊥底面ABCD，∴DM⊥PA，∴DM⊥平面PAM，
∵DM平面PDM，∴平面PAM⊥平面PDM．
（Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，
过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则 ， ， ，
设平面PMD的法向量为 ，
则 ，
取x1=3，∴ ．
∵E为PC中点，则 ，
设平面MDE的法向量为 ，
则 ，取x2=3，∴ ．
由 ．
∴二面角P﹣MD﹣E的余弦值为
【解析】（Ⅰ）证明DM⊥AM．DM⊥PA，推出DM⊥平面PAM，即可证明平面PAM⊥平面PDM．（Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PMD的法向量，平面MDE的法向量，利用向量的 数量积求解二面角P﹣MD﹣E的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．