【题目】椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过坐标原点的直线
交椭圆于
两点，
在第一象限，
轴，垂足为
，连接
延长交椭圆于点
.
①求证：
；
②求
面积最大值.
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【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，
， 
，
，
， PA=AB=BC=2. E是PC的中点.
（1）证明： 
；
（2）求三棱锥P-ABC的体积；
（3） 证明：
平面
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【题目】已知直线
与抛物线
交于P，Q两点，且
的面积为16（O为坐标原点）．
（1）求C的方程.
（2）直线l经过C的焦点F且l不与x轴垂直；l与C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，试问在x轴上是否存在点E，使
为定值？若存在，求该定值及E的坐标；若不存在，请说明理由．
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【题目】已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的极值点；
（Ⅱ）若直线
过点
，并且与曲线
相切，求直线的方程；
（Ⅲ）设函数
，其中
，求函数
在区间
上的最小值.（其中
为自然对数的底数）
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【题目】为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事对工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：
（1）能否在犯错误的概率不超过
的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关？”
参考公式：
附表：
（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率，并估计该校近3年毕业的2000名大学生总从事的工作与大学所学专业对口的人数；
（3）若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生对丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率．
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【题目】已知椭圆
： 
的上下两个焦点分别为
， 
，过点
与
轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点， 
的面积为
，椭圆
的离心力为
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）已知
为坐标原点，直线
： 
与
轴交于点
，与椭圆
交于
， 
两个不同的点，若存在实数
，使得
，求
的取值范围．
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【题目】椭圆C：
（
）的左、右焦点分别是
、
，离心率为
，过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接
、
，设
的角平分线PM交C的长轴于点
，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线、的斜率分别为
、
，若
，试证明
为定值，并求出这个定值．
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