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    【题目】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）过坐标原点的直线交椭圆于两点，在第一象限，轴，垂足为，连接延长交椭圆于点.

    ①求证：；

    ②求面积最大值.

    【答案】（1）（2）①证明见解析②

    【解析】

    （1）结合离心率，以及，计算即得解;

    （2）设直线方程为，与椭圆联立，可求得P，Q坐标，于是直线的斜率为，方程为，联立求得G点坐标，利用数量积运算即得证；表示的面积，利用均值不等式，即得解.

    （1）由的焦点为，椭圆离心率

    ∴，∴

    ∴椭圆方程为

    （1）①设直线的斜率为，则其方程为

    由，得

    记，则

    于是直线的斜率为，方程为

    由，得①

    设，则和是方程①的解，故，由此得

    从而直线的斜率为所以得证.

    ②由①得，

    所以的面积

    设，则由得，当且仅当时取等号

    因为在单调递减，所以当，即时，取得最大值.

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    参考公式：

    附表：

    （2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率，并估计该校近3年毕业的2000名大学生总从事的工作与大学所学专业对口的人数；

    （3）若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生对丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率．

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    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

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