Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上异于长轴端点的点，且的最大面积为.

（1）求椭圆的标准方程

（2）若直线是过点点的直线，且与椭圆交于不同的点、，是否存在直线使得点、到直线，的距离、，满足恒成立，若存在，求的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）根据题意列出有关、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，并列出韦达定理，由，得出，通过化简计算并代入韦达定理计算出的值，即可得出直线的方程，即可说明直线的存在性.

（1）设椭圆的焦距为，且的最大面积为，则，

由已知条件得，解得，因此，椭圆的标准方程为；

（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，

将直线的方程与椭圆方程联立，消去并整理得，

，

由韦达定理得，.

，即，即，

整理得；

当直线与轴重合时，则直线与椭圆的交点为左、右顶点，设点、，

，，由，得，解得.

综上所述，存在直线，使得.