Question

【题目】已知为坐标原点，设动点.

（1）当时，若过点的直线与圆：相切，求直线的方程；

（2）当时，求以为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）当时，设，过点作的垂线，与以为直径的圆交于点，垂足为，试问：线段的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)或；(2)；(3)的长为定值为.

【解析】试题分析: （1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；

（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；

（3）由于∽，∴，直线的方程为，求出，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．

试题解析：

(1)解：依题意，

将圆：化为标准方程为：，

则圆心，半径为，

∵直线过点，

∴当斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；

当斜率存在时，设过点的直线的方程为，即.

∵直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离为4，

即，解得，

∴，即，

综上可得，所求直线的方程为或.

（2）依题意得，（），

∴以为直径的圆圆心为，半径为，

∴圆的方程为，

∵以为直径的圆被直线截得的弦长为2，

∴圆心到直线的距离为

，

∴，解得.

∴圆心为，半径为，

∴所求圆的方程为.

（3）的长为定值.

理由如下：

依题意得（）

由于∽，

则，即，

∵直线的方程为，即

∴由点到直线的距离公式得，

又由两点间的距离公式得，

∴，

∴，

∴的长为定值为.