Question

【题目】如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．

(1)求证：MN⊥平面A1BC；

(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）易得BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；
（2）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．

试题解析：

(1)证明　如图，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．

又侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．

又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．

因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．

(2)如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，

连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．

设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a．

在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．