Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点.

（1）求证： 平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在， ..

【解析】试题分析：（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用Vp-DQC=VQ-PCD，即可得出结论．

试题解析：

（1）证明：在中为中点，所以.

又侧面底面，平面平面平面，

所以平面.

（2）解：连接，在直角梯形中， ，有且，所以四边形是平行四边形，所以.

由（1）知为锐角，

所以是异面直线与所成的角，

因为，在中， ，所以，

在中，因为，所以，

在中， ，所以，

所以异面直线与所成的角的余弦值为.

（3）解：假设存在点，使得它到平面的距离为.

设，则，由（2）得，

在中， ，

所以，

由得，所以存在点满足题意，此时.