Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF= ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ 的位置， .

（1）证明： 平面ABCD；
（2）求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵ ，

∴ ，

∴ ．

∵四边形 为菱形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ；

又 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

又∵ ，

∴ 面

（2）

解：建立如图坐标系 ．

， ， ， ，

， ， ，

设面 法向量 ，

由 得 ，取 ，

∴ ．

同理可得面 的法向量 ，

∴ ，

∴

【解析】（1）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（2）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到 的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量 ，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求