Question

【题目】在直角坐标系中， 椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，且点 在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的任意一点，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点， 求证：三点在同一条直线上

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。

（2）设，，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。

（1）（法一）设椭圆的方程为，

∵一个焦点坐标为，∴另一个焦点坐标为，

∴由椭圆定义可知，

∴，∴，∴椭圆的方程为.

（法二）不妨设椭圆的方程为（），

∵一个焦点坐标为，∴，①

又∵点在椭圆上，∴，②

联立方程①，②，解得，，

∴椭圆的方程为.

（2）设，，直线的方程为，

由方程组消去，并整理得：，

∵，∴，，

∵直线的方程可表示为，

将此方程与直线联立，可求得点的坐标为，

∴，

∵

，所以，

又向量和有公共点，故，，三点在同一条直线上.