Question

【题目】五面体中，是等腰梯形，，，，，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1) 连接，取中点为，则,可得为平行四边形，为等边三角形，，，由题意平面平面，且交线为，平面，又，，可得结论；

（2）以为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内，过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知. 可得，，.平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，求的值后用公式，可得答案.

解：（1）连接，取中点为，则，

为平行四边形，

，.

为等边三角形，，

.

,

平面平面，且交线为，

平面，

.

又，

平面.

（2）以为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内，过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知.

则，，.

由（1）知，平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则

取，得，

，

结合图形可知二面角的余弦值为.