Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）为f（x）的导函数，求g（x）单调区间；
（2）已知函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f′（x）=ln x﹣2ax+2a，

可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），

所以g′（x）= ﹣2a= ，

当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；

当a＞0，x∈（0， ）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，

x∈（ ，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．

所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；

当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0， ），单调减区间为（ ，+∞）

（2）解：由（1）知，f′（1）=0．

①当0＜a＜ 时， ＞1，由（1）知f′（x）在（0， ）内单调递增，

可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1， ）时，f′（x）＞0．

所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1， ）内单调递增，

所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．

②当a= 时， =1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，

所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．

③当a＞ 时，0＜ ＜1，当x∈（ ，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

④a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，

故f（x）在x=1处取极小值，不合题意；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意．

综上可知，实数a的取值范围为（ ，+∞）

【解析】（1）先求的函数f（x）的导函数g（x），再由g（x）的导函数求得g（x）的单调区间；（2）函数f（x）在x=1处取得极大值，那么当x<1时
f′（x）>0，当x>1时f′（x）<0，然后对a进行分类讨论，最后求得实数a的取值范围.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．