Question

【题目】已知函数.

(1)求不等式的解集;

(2)函数若存在使得成立,求实数的取值范围;

(3)若函数讨论函数的零点个数(直接写出答案，不要求写出解题过程).

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析.

【解析】【试题分析】（1）先判断出函数的是定义在区间上的减函数，然后将所求不等式等价转化为即，由此求得解集为.（2）由题意知: 时, 值域有交集. 时, 是减函数对分成两类讨论得出的值域，由此求得的取值范围.（3）由，得，令则作出图像，对分类，结合图象讨论零点的个数.

【试题解析】

（1），定义域为

,函数是奇函数.

又在时是减函数,(也可用定义法证明)

故不等式等价于

即,

又

故不等式的解集为.

(2)由题意知: 时, 值域有交集.

时, 是减函数

当时, 时单调递减,

当时, 时单调递增, 显然不符合

综上: 的取值范围为

(3)由，得，令则

作出图像

由图可知，①当时，由得出，

当时, ,对应有3个零点；

当时, ,对应有1个零点；

②当时，只有一个，对应有1个零点；

③当时，只有一个，对应只有一个零点；

④当时， ，此时 ， ，

由

得在时， ，三个分别对应一个零点，共3个，

在时， ，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个.

综上所述，当或或时，函数只有1个零点；

当或时，函数有3个零点；

当时，函数有5个零点.