Question

已知圆过点，，并且直线平分圆的面积．
（1）求圆的方程；
（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点．
①求实数的取值范围；  ②若，求的值．

Answer 1

（1）；（2）①：实数的取值范围是，②：.

解析试题分析：（1）由题意直线平分圆的面积可知圆心在直线上，因此可将的坐标设为，再由圆过点，可知，即可得到关于的方程：
，解得，即有圆心坐标，半径，从而可知圆的方程为；（2）①：根据题意可设直线的方程为，代入圆方程并化简可得，从而直线与圆有两个不同的交点，等价于方程有两个不想等的实数根，从而，②：由题意可知若设设，，则，为方程的两根，从而，，，因此可以由得到关于的方程：，即.
试题解析：（1）∵平分圆的面积，∴圆心在直线上，∴设，又∵圆过点，，
∴，即，∴，半径，
∴圆的方程为；         4分；
①：设直线的方程为，代入并化简可得：，
∵直线与圆有两个不同的公共点，∴，
即实数的取值范围是，        4分
②：设，，由①可知，，
∴，
∴，
∴.         4分
考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系；3.平面向量数量积的坐标表示.