Question

【题目】设函数f（x）定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3 ， 则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣ ， ]上的所有零点的和为 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称， ∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）关于x=0对称，
∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的函数，
∴f（x）在[﹣ ]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，
又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，
∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．
作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：

由图象可知g（x）在（0， ）和（ ，1）上各有1个零点，且x=1为g（x）的一个零点．
∴g（x）在[﹣ ]上共有7个零点，
设这6个零点从小到大依次为x1 ， x2 ， x3 ， …，x7 ，
则x1 ， x2关于x=0对称，x3 ， x5关于x=1对称，x6 ， x7关于x=2对称，x4=1．
∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．
所以答案是：7．