【题目】如图,已知圆的方程为
,圆
的方程为
,若动圆
与圆
内切,与圆
外切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过直线上的点
作圆
的两条切线,设切点分别是
,
,若直线
与轨迹
交于
,
两点,求
的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(Ⅰ)设动圆的半径为
,由题动圆
与圆
内切,与圆
外切,则
,由此即可得到动圆圆心
的轨迹是以
为焦点,长轴长为
的椭圆,进而得到动圆圆心
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设直线上任意一点
的坐标是
,切点
坐标分别是
,
;则经过
点的切线斜方程是
,同理经过
点的切线方程是
,又两条切线
,
相交于
.可得经过
两点的直线
的方程是
,对
分类讨论分别求出
的值,即可得到
的最小值.
(Ⅰ)设动圆的半径为
,∵动圆
与圆
内切,与圆
外切,
∴,且
.于是,
,
所以动圆圆心的轨迹是以
为焦点,长轴长为
的椭圆.从而,
,
所以.故动圆圆心
的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)设直线上任意一点
的坐标是
,切点
坐标分别是
,
;则经过
点的切线斜率
,方程是
,
经过点的切线方程是
,又两条切线
,
相交于
.
则有,所以经过
两点的直线
的方程是
,
①当时,有
,
,
,
,则
;
②当时,联立
,整理得
;
设坐标分别为
,
,则
,
所以,
综上所述,当时,
有最小值
.
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【题目】某大学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核,因该批志愿者表现良好,大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核合格,授予个学分;考核优秀,授予
个学分,假设该大学志愿者甲、乙、丙考核优秀的概率为
、
、
.他们考核所得的等次相互独立.
(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少一名考核为优秀的概率;
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量,求随机变量
的分布列.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】常州别称龙城,是一座有着3200多年历史的文化古城.常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹,又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点,每年都有大量游客来常州参观旅游.为合理配置旅游资源,管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查,据统计,其中的人计划只游览中华恐龙园,另外
的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺.每位游客若只游览中华恐龙园,得1分;若既游览中华恐龙园又参观天宁寺,得2分.假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行,且是否参观天宁寺相互独立,视频率为概率.
(1)有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的,求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率;
(2)从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人,记这3人的合计得分为X,求X的概率分布和数学期望.
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【题目】已知函数,
.
(1)存在,对任意
,有不等式
成立,求实数
的取值范围;
(2)如果存在、
,使得
成立,求满足条件的最大整数
;
(3)对任意,存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P一ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC∥AD,AB⊥AD,△PBD为正三角形.且PA=2.
(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若点P到底面ABCD的距离为2,E是线段PD上一点,且PB∥平面ACE,求四面体A-CDE的体积.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
,以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线与曲线
两交点所在直线的极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为
,直线
与
轴的交点为
,与曲线
相交于
两点,求
的值.
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【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说:“数学物理不分家,如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩,如下表:
(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程。若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩;
(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛,求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率。(参考公式: 参考数据:
)
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