Question

【题目】如图，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，ABAC，AB＝3，AC＝4，B1CAC1．

（1）求AA1的长；

（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）不存在符合题意的点P，理由见解析

【解析】

（1）根据直三棱柱，得到AA1⊥平面ABC，又AB⊥AC，以A为原点，{，，}为正交基底建立空间直角坐标系，设AA1＝a＞0，利用B1C⊥AC1，由求解.

（2）假设存在，设(0，0，4)，，得到＝(3，﹣4，4)，由AB⊥平面AA1C1C，得到平面AA1C1C的法向量为＝(3，0，0)，设PC与平面AA1C1C所成角为，代入求解，再求得平面BA1C的一个法向量，设二面角B—A1C—A的大小为，则，然后根据，由求解.

（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

又AB，AC平面ABC，

故AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC，

故以A为原点，{，，}为正交基底建立空间直角坐标系：

设AA1＝a＞0，则A1(0，0，a)，C(0，4，0)，B1(3，0，a)，C1(0，4，a)，

＝(﹣3，4，﹣a)，＝(0，4，a)，

因为B1C⊥AC1，

故，即，

又a＞0，故a＝4，即AA1的长为4；

（2）由（1）知：B(3，0，0)，B1(3，0，4)，

假设存在，设(0，0，4)，，

则P(3，0，4)，则＝(3，﹣4，4)，

因为AB⊥AC，AB⊥AA1，又ACAA1＝A，AC，AA1平面AA1C1C，

所以AB⊥平面AA1C1C，

故平面AA1C1C的法向量为＝(3，0，0)，

设PC与平面AA1C1C所成角为，则，

设平面BA1C的一个法向量为＝(x，y，z)，平面AA1C的一个法向量为＝(3，0，0)，

由（1）知：＝(0，4，﹣4)，＝(﹣3，4，0)，＝(0，4，0)，

则，

令，则＝(4，3，3)

设二面角B—A1C—A的大小为，则，

因为，则，无解，

故侧棱BB1上不存在符合题意的点P．