Question

【题目】在三棱锥中，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为_______________，__________

Answer 1

【答案】

【解析】

作平面，垂足为，则由已知是内心，由直角三角形的性质求得内切圆半径从而可得，由此用体积法求得内切球半径，过斜边中点作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，只是要确定在平面的哪一侧，可分类讨论，同时由垂直得平行，从而得共线，求出外接球半径，求得后可得结论．

如图，作平面，垂足为，过作于，连接，由平面，平面，得，同理，又，所以平面，而平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，所以，

　　　　　图1

又面角、、的大小均为，所以到三边距离相等，点到的距离也相等，所以是的内心，

因为，所以，，

所以，从而，，

，

， ，，，

所以三棱锥的全面积为，

设内切球半径为，则，所以．

设是中点，则是外心，所以平面，所以，则共线，

在直角中，以为轴建立平面直角坐标系，由，，∴，

设三棱锥外接球半径为，即，若在图1位置所示，由直角梯形和直角得（*），解得与（*）式不合，

图2

若如图2位置所示，则，解得，此时，

∴，∴．

故答案为：；．