Question

【题目】（本小题满分16分）已知数列（， ）满足， 其中， ．

（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；

（2）设集合．

①若， ，求证： ；

②是否存在实数， ，使， ， 都属于？若存在，请求出实数， ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）①详见解析，②不存在

【解析】试题分析：（1）数列递推关系式是一个分段函数，可通过分段点进行连接： ， ， ，根据对勾函数得，或，从而有（2）①当时，数列是一个等差数列，易得，从而，令，得．问题转化为证明有满足条件解，易求得②∴ ，问题转化为是否存在三个不同的整数（），使得消去a,d得，由于，所以无解

试题解析：（1）当时，

， ， ． 2分

因为， ，或，

所以． 4分

（2）①由题意， ， ． 6分

令，得．

因为， ，

所以令，则． 8分

②不存在实数， ，使， ， 同时属于． 9分

假设存在实数， ，使， ， 同时属于．

，∴，

从而． 11分

因为， ， 同时属于，所以存在三个不同的整数（），

使得从而

则． 13分

因为与互质，且与为整数，

所以，但，矛盾．

所以不存在实数， ，使， ， 都属于． 16分