Question

【题目】（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD， ⊥， ⊥， ， 分别是， 的中点，连结．求证：

（1）∥平面；

（2）⊥平面．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）证明线面平行，关键证明线线平行，这可根据三角形中位线性质得到：在△中，因为， 分别是， 的中点，所以∥．再根据线面平行判定定理进行证明（2）证明线面垂直，需多次利用线线垂直与线面垂直相互转化：先根据面面垂直性质定理转化为线面垂直：由平面PBD⊥平面ABCD，得⊥平面．从而⊥．又因为⊥，所以可得⊥平面．从而⊥．又因为⊥， ∥，所以⊥．从而可证⊥平面．

试题解析：证明：（1）连结AC，

因为ABCD 是平行四边形，所以O为的中点． 2分

在△中，因为， 分别是， 的中点，

所以∥． 4分

因为平面， 平面，

所以∥平面． 6分

（2）连结．因为是的中点，PB=PD，

所以PO⊥BD．

又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面 平

面= ， 平面

所以⊥平面．

从而⊥． 8分

又因为⊥， , 平面， 平面，

所以⊥平面．

因为平面，所以⊥． 10分

因为⊥， ∥，所以⊥． 12分

又因为平面， 平面， ,

所以⊥平面． 14分