Question

【题目】已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若，对恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，设.若正实数，满足，，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）求导后，分别在和两种情况下根据导函数的正负求得函数的单调区间；

（2）通过分离变量得到，令，利用导数可求得最大值，由此得到；

（3）设，以为变量，令，通过判断导函数的正负可确定在上单调递增，得到，从而得到结论.

（1）由题意知：定义域为，，

令，则，

①当时，，即恒成立，

函数的单调递增区间为；无单调递减区间；

②当时，令，

解得：，，可知，

当和时，，即；

当时，，即；

的单调递增区间为，；单调递减区间为；

综上所述：①当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

②当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（2）对恒成立，即为对任意的，都有，

设，则，

令，则，

∴在上单调递减，又，

∴当时，，即，单调递增；

当，，即，单调递减，

∴，

∴实数的取值范围为.

（3）证明：当时，，

不妨设，以为变量，令，

则

且，

，即，又为增函数，

；

，，在上单调递增，

，，

即.