Question

【题目】在直角坐标系中，设椭圆的左焦点为,短轴的两个端点分别为，且，点在上.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆和圆分别相切于,两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .

【解析】

(Ⅰ) 由，可得；由椭圆经过点，得，求出后可得椭圆的方程．

(Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立消元后根据判别式为零可得，解方程可得切点坐标为，再根据直线和圆相切得到，然后根据在直角三角形中求出，进而得到，将代入后消去再用基本不等式可得当三角形面积最大时，于是可得，于是直线方程可求．

(Ⅰ)由，可得，①

由椭圆经过点，得，②

由①②得，

所以椭圆的方程为．

(Ⅱ)由消去整理得（*），

由直线与椭圆相切得，

，

整理得，

故方程（*）化为，即，

解得，

设，则，故，

因此．

又直线与圆相切，可得．

所以，

所以，

将式代入上式可得

，

由得，

所以，当且仅当时等号成立，即时取得最大值．

由，得，

所以直线的方程为．